Home | History | Annotate | Line # | Download | only in ld80 
      1 /*-
      2  * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve (at) moshier.net>
      3  *
      4  * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
      5  * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
      6  * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
      7  *
      8  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
      9  * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
     10  * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
     11  * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
     12  * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
     13  * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
     14  * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
     15  */
     16 
     17 #include <sys/cdefs.h>
     18 #include <math.h>
     19 
     20 #include "math_private.h"
     21 
     22 /*
     23  * Polynomial evaluator:
     24  *  P[0] x^n  +  P[1] x^(n-1)  +  ...  +  P[n]
     25  */
     26 static inline long double
     27 __polevll(long double x, long double *PP, int n)
     28 {
     29 	long double y;
     30 	long double *P;
     31 
     32 	P = PP;
     33 	y = *P++;
     34 	do {
     35 		y = y * x + *P++;
     36 	} while (--n);
     37 
     38 	return (y);
     39 }
     40 
     41 /*
     42  * Polynomial evaluator:
     43  *  x^n  +  P[0] x^(n-1)  +  P[1] x^(n-2)  +  ...  +  P[n]
     44  */
     45 static inline long double
     46 __p1evll(long double x, long double *PP, int n)
     47 {
     48 	long double y;
     49 	long double *P;
     50 
     51 	P = PP;
     52 	n -= 1;
     53 	y = x + *P++;
     54 	do {
     55 		y = y * x + *P++;
     56 	} while (--n);
     57 
     58 	return (y);
     59 }
     60 
     61 /*							powl.c
     62  *
     63  *	Power function, long double precision
     64  *
     65  *
     66  *
     67  * SYNOPSIS:
     68  *
     69  * long double x, y, z, powl();
     70  *
     71  * z = powl( x, y );
     72  *
     73  *
     74  *
     75  * DESCRIPTION:
     76  *
     77  * Computes x raised to the yth power.  Analytically,
     78  *
     79  *      x**y  =  exp( y log(x) ).
     80  *
     81  * Following Cody and Waite, this program uses a lookup table
     82  * of 2**-i/32 and pseudo extended precision arithmetic to
     83  * obtain several extra bits of accuracy in both the logarithm
     84  * and the exponential.
     85  *
     86  *
     87  *
     88  * ACCURACY:
     89  *
     90  * The relative error of pow(x,y) can be estimated
     91  * by   y dl ln(2),   where dl is the absolute error of
     92  * the internally computed base 2 logarithm.  At the ends
     93  * of the approximation interval the logarithm equal 1/32
     94  * and its relative error is about 1 lsb = 1.1e-19.  Hence
     95  * the predicted relative error in the result is 2.3e-21 y .
     96  *
     97  *                      Relative error:
     98  * arithmetic   domain     # trials      peak         rms
     99  *
    100  *    IEEE     +-1000       40000      2.8e-18      3.7e-19
    101  * .001 < x < 1000, with log(x) uniformly distributed.
    102  * -1000 < y < 1000, y uniformly distributed.
    103  *
    104  *    IEEE     0,8700       60000      6.5e-18      1.0e-18
    105  * 0.99 < x < 1.01, 0 < y < 8700, uniformly distributed.
    106  *
    107  *
    108  * ERROR MESSAGES:
    109  *
    110  *   message         condition      value returned
    111  * pow overflow     x**y > MAXNUM      INFINITY
    112  * pow underflow   x**y < 1/MAXNUM       0.0
    113  * pow domain      x<0 and y noninteger  0.0
    114  *
    115  */
    116 
    117 #include <sys/cdefs.h>
    118 #include <float.h>
    119 #include <math.h>
    120 
    121 #include "math_private.h"
    122 
    123 /* Table size */
    124 #define NXT 32
    125 /* log2(Table size) */
    126 #define LNXT 5
    127 
    128 /* log(1+x) =  x - .5x^2 + x^3 *  P(z)/Q(z)
    129  * on the domain  2^(-1/32) - 1  <=  x  <=  2^(1/32) - 1
    130  */
    131 static long double P[] = {
    132  8.3319510773868690346226E-4L,
    133  4.9000050881978028599627E-1L,
    134  1.7500123722550302671919E0L,
    135  1.4000100839971580279335E0L,
    136 };
    137 static long double Q[] = {
    138 /* 1.0000000000000000000000E0L,*/
    139  5.2500282295834889175431E0L,
    140  8.4000598057587009834666E0L,
    141  4.2000302519914740834728E0L,
    142 };
    143 /* A[i] = 2^(-i/32), rounded to IEEE long double precision.
    144  * If i is even, A[i] + B[i/2] gives additional accuracy.
    145  */
    146 static long double A[33] = {
    147  1.0000000000000000000000E0L,
    148  9.7857206208770013448287E-1L,
    149  9.5760328069857364691013E-1L,
    150  9.3708381705514995065011E-1L,
    151  9.1700404320467123175367E-1L,
    152  8.9735453750155359320742E-1L,
    153  8.7812608018664974155474E-1L,
    154  8.5930964906123895780165E-1L,
    155  8.4089641525371454301892E-1L,
    156  8.2287773907698242225554E-1L,
    157  8.0524516597462715409607E-1L,
    158  7.8799042255394324325455E-1L,
    159  7.7110541270397041179298E-1L,
    160  7.5458221379671136985669E-1L,
    161  7.3841307296974965571198E-1L,
    162  7.2259040348852331001267E-1L,
    163  7.0710678118654752438189E-1L,
    164  6.9195494098191597746178E-1L,
    165  6.7712777346844636413344E-1L,
    166  6.6261832157987064729696E-1L,
    167  6.4841977732550483296079E-1L,
    168  6.3452547859586661129850E-1L,
    169  6.2092890603674202431705E-1L,
    170  6.0762367999023443907803E-1L,
    171  5.9460355750136053334378E-1L,
    172  5.8186242938878875689693E-1L,
    173  5.6939431737834582684856E-1L,
    174  5.5719337129794626814472E-1L,
    175  5.4525386633262882960438E-1L,
    176  5.3357020033841180906486E-1L,
    177  5.2213689121370692017331E-1L,
    178  5.1094857432705833910408E-1L,
    179  5.0000000000000000000000E-1L,
    180 };
    181 static long double B[17] = {
    182  0.0000000000000000000000E0L,
    183  2.6176170809902549338711E-20L,
    184 -1.0126791927256478897086E-20L,
    185  1.3438228172316276937655E-21L,
    186  1.2207982955417546912101E-20L,
    187 -6.3084814358060867200133E-21L,
    188  1.3164426894366316434230E-20L,
    189 -1.8527916071632873716786E-20L,
    190  1.8950325588932570796551E-20L,
    191  1.5564775779538780478155E-20L,
    192  6.0859793637556860974380E-21L,
    193 -2.0208749253662532228949E-20L,
    194  1.4966292219224761844552E-20L,
    195  3.3540909728056476875639E-21L,
    196 -8.6987564101742849540743E-22L,
    197 -1.2327176863327626135542E-20L,
    198  0.0000000000000000000000E0L,
    199 };
    200 
    201 /* 2^x = 1 + x P(x),
    202  * on the interval -1/32 <= x <= 0
    203  */
    204 static long double R[] = {
    205  1.5089970579127659901157E-5L,
    206  1.5402715328927013076125E-4L,
    207  1.3333556028915671091390E-3L,
    208  9.6181291046036762031786E-3L,
    209  5.5504108664798463044015E-2L,
    210  2.4022650695910062854352E-1L,
    211  6.9314718055994530931447E-1L,
    212 };
    213 
    214 #define douba(k) A[k]
    215 #define doubb(k) B[k]
    216 #define MEXP (NXT*16384.0L)
    217 /* The following if denormal numbers are supported, else -MEXP: */
    218 #define MNEXP (-NXT*(16384.0L+64.0L))
    219 /* log2(e) - 1 */
    220 #define LOG2EA 0.44269504088896340735992L
    221 
    222 #define F W
    223 #define Fa Wa
    224 #define Fb Wb
    225 #define G W
    226 #define Ga Wa
    227 #define Gb u
    228 #define H W
    229 #define Ha Wb
    230 #define Hb Wb
    231 
    232 static const long double MAXLOGL = 1.1356523406294143949492E4L;
    233 static const long double MINLOGL = -1.13994985314888605586758E4L;
    234 static const long double LOGE2L = 6.9314718055994530941723E-1L;
    235 static volatile long double z;
    236 static long double w, W, Wa, Wb, ya, yb, u;
    237 static const long double huge = 0x1p10000L;
    238 #if 0 /* XXX Prevent gcc from erroneously constant folding this. */
    239 static const long double twom10000 = 0x1p-10000L;
    240 #else
    241 static volatile long double twom10000 = 0x1p-10000L;
    242 #endif
    243 
    244 static long double reducl( long double );
    245 static long double powil ( long double, int );
    246 
    247 long double
    248 powl(long double x, long double y)
    249 {
    250 /* double F, Fa, Fb, G, Ga, Gb, H, Ha, Hb */
    251 int i, nflg, iyflg, yoddint;
    252 long e;
    253 
    254 if( y == 0.0L )
    255 	return( 1.0L );
    256 
    257 if( x == 1.0L )
    258 	return( 1.0L );
    259 
    260 if( isnan(x) )
    261 	return ( nan_mix(x, y) );
    262 if( isnan(y) )
    263 	return ( nan_mix(x, y) );
    264 
    265 if( y == 1.0L )
    266 	return( x );
    267 
    268 if( !isfinite(y) && x == -1.0L )
    269 	return( 1.0L );
    270 
    271 if( y >= LDBL_MAX )
    272 	{
    273 	if( x > 1.0L )
    274 		return( INFINITY );
    275 	if( x > 0.0L && x < 1.0L )
    276 		return( 0.0L );
    277 	if( x < -1.0L )
    278 		return( INFINITY );
    279 	if( x > -1.0L && x < 0.0L )
    280 		return( 0.0L );
    281 	}
    282 if( y <= -LDBL_MAX )
    283 	{
    284 	if( x > 1.0L )
    285 		return( 0.0L );
    286 	if( x > 0.0L && x < 1.0L )
    287 		return( INFINITY );
    288 	if( x < -1.0L )
    289 		return( 0.0L );
    290 	if( x > -1.0L && x < 0.0L )
    291 		return( INFINITY );
    292 	}
    293 if( x >= LDBL_MAX )
    294 	{
    295 	if( y > 0.0L )
    296 		return( INFINITY );
    297 	return( 0.0L );
    298 	}
    299 
    300 w = floorl(y);
    301 /* Set iyflg to 1 if y is an integer.  */
    302 iyflg = 0;
    303 if( w == y )
    304 	iyflg = 1;
    305 
    306 /* Test for odd integer y.  */
    307 yoddint = 0;
    308 if( iyflg )
    309 	{
    310 	ya = fabsl(y);
    311 	ya = floorl(0.5L * ya);
    312 	yb = 0.5L * fabsl(w);
    313 	if( ya != yb )
    314 		yoddint = 1;
    315 	}
    316 
    317 if( x <= -LDBL_MAX )
    318 	{
    319 	if( y > 0.0L )
    320 		{
    321 		if( yoddint )
    322 			return( -INFINITY );
    323 		return( INFINITY );
    324 		}
    325 	if( y < 0.0L )
    326 		{
    327 		if( yoddint )
    328 			return( -0.0L );
    329 		return( 0.0 );
    330 		}
    331 	}
    332 
    333 
    334 nflg = 0;	/* flag = 1 if x<0 raised to integer power */
    335 if( x <= 0.0L )
    336 	{
    337 	if( x == 0.0L )
    338 		{
    339 		if( y < 0.0 )
    340 			{
    341 			if( signbit(x) && yoddint )
    342 				return( -INFINITY );
    343 			return( INFINITY );
    344 			}
    345 		if( y > 0.0 )
    346 			{
    347 			if( signbit(x) && yoddint )
    348 				return( -0.0L );
    349 			return( 0.0 );
    350 			}
    351 		if( y == 0.0L )
    352 			return( 1.0L );  /*   0**0   */
    353 		else
    354 			return( 0.0L );  /*   0**y   */
    355 		}
    356 	else
    357 		{
    358 		if( iyflg == 0 )
    359 			return (x - x) / (x - x); /* (x<0)**(non-int) is NaN */
    360 		nflg = 1;
    361 		}
    362 	}
    363 
    364 /* Integer power of an integer.  */
    365 
    366 if( iyflg )
    367 	{
    368 	i = w;
    369 	w = floorl(x);
    370 	if( (w == x) && (fabsl(y) < 32768.0) )
    371 		{
    372 		w = powil( x, (int) y );
    373 		return( w );
    374 		}
    375 	}
    376 
    377 
    378 if( nflg )
    379 	x = fabsl(x);
    380 
    381 /* separate significand from exponent */
    382 x = frexpl( x, &i );
    383 e = i;
    384 
    385 /* find significand in antilog table A[] */
    386 i = 1;
    387 if( x <= douba(17) )
    388 	i = 17;
    389 if( x <= douba(i+8) )
    390 	i += 8;
    391 if( x <= douba(i+4) )
    392 	i += 4;
    393 if( x <= douba(i+2) )
    394 	i += 2;
    395 if( x >= douba(1) )
    396 	i = -1;
    397 i += 1;
    398 
    399 
    400 /* Find (x - A[i])/A[i]
    401  * in order to compute log(x/A[i]):
    402  *
    403  * log(x) = log( a x/a ) = log(a) + log(x/a)
    404  *
    405  * log(x/a) = log(1+v),  v = x/a - 1 = (x-a)/a
    406  */
    407 x -= douba(i);
    408 x -= doubb(i/2);
    409 x /= douba(i);
    410 
    411 
    412 /* rational approximation for log(1+v):
    413  *
    414  * log(1+v)  =  v  -  v**2/2  +  v**3 P(v) / Q(v)
    415  */
    416 z = x*x;
    417 w = x * ( z * __polevll( x, P, 3 ) / __p1evll( x, Q, 3 ) );
    418 w = w - ldexpl( z, -1 );   /*  w - 0.5 * z  */
    419 
    420 /* Convert to base 2 logarithm:
    421  * multiply by log2(e) = 1 + LOG2EA
    422  */
    423 z = LOG2EA * w;
    424 z += w;
    425 z += LOG2EA * x;
    426 z += x;
    427 
    428 /* Compute exponent term of the base 2 logarithm. */
    429 w = -i;
    430 w = ldexpl( w, -LNXT );	/* divide by NXT */
    431 w += e;
    432 /* Now base 2 log of x is w + z. */
    433 
    434 /* Multiply base 2 log by y, in extended precision. */
    435 
    436 /* separate y into large part ya
    437  * and small part yb less than 1/NXT
    438  */
    439 ya = reducl(y);
    440 yb = y - ya;
    441 
    442 /* (w+z)(ya+yb)
    443  * = w*ya + w*yb + z*y
    444  */
    445 F = z * y  +  w * yb;
    446 Fa = reducl(F);
    447 Fb = F - Fa;
    448 
    449 G = Fa + w * ya;
    450 Ga = reducl(G);
    451 Gb = G - Ga;
    452 
    453 H = Fb + Gb;
    454 Ha = reducl(H);
    455 w = ldexpl( Ga+Ha, LNXT );
    456 
    457 /* Test the power of 2 for overflow */
    458 if( w > MEXP )
    459 	return (huge * huge);		/* overflow */
    460 
    461 if( w < MNEXP )
    462 	return (twom10000 * twom10000);	/* underflow */
    463 
    464 e = w;
    465 Hb = H - Ha;
    466 
    467 if( Hb > 0.0L )
    468 	{
    469 	e += 1;
    470 	Hb -= (1.0L/NXT);  /*0.0625L;*/
    471 	}
    472 
    473 /* Now the product y * log2(x)  =  Hb + e/NXT.
    474  *
    475  * Compute base 2 exponential of Hb,
    476  * where -0.0625 <= Hb <= 0.
    477  */
    478 z = Hb * __polevll( Hb, R, 6 );  /*    z  =  2**Hb - 1    */
    479 
    480 /* Express e/NXT as an integer plus a negative number of (1/NXT)ths.
    481  * Find lookup table entry for the fractional power of 2.
    482  */
    483 if( e < 0 )
    484 	i = 0;
    485 else
    486 	i = 1;
    487 i = e/NXT + i;
    488 e = NXT*i - e;
    489 w = douba( e );
    490 z = w * z;      /*    2**-e * ( 1 + (2**Hb-1) )    */
    491 z = z + w;
    492 z = ldexpl( z, i );  /* multiply by integer power of 2 */
    493 
    494 if( nflg )
    495 	{
    496 /* For negative x,
    497  * find out if the integer exponent
    498  * is odd or even.
    499  */
    500 	w = ldexpl( y, -1 );
    501 	w = floorl(w);
    502 	w = ldexpl( w, 1 );
    503 	if( w != y )
    504 		z = -z; /* odd exponent */
    505 	}
    506 
    507 return( z );
    508 }
    509 
    510 
    511 /* Find a multiple of 1/NXT that is within 1/NXT of x. */
    512 static inline long double
    513 reducl(long double x)
    514 {
    515 long double t;
    516 
    517 t = ldexpl( x, LNXT );
    518 t = floorl( t );
    519 t = ldexpl( t, -LNXT );
    520 return(t);
    521 }
    522 
    523 /*							powil.c
    524  *
    525  *	Real raised to integer power, long double precision
    526  *
    527  *
    528  *
    529  * SYNOPSIS:
    530  *
    531  * long double x, y, powil();
    532  * int n;
    533  *
    534  * y = powil( x, n );
    535  *
    536  *
    537  *
    538  * DESCRIPTION:
    539  *
    540  * Returns argument x raised to the nth power.
    541  * The routine efficiently decomposes n as a sum of powers of
    542  * two. The desired power is a product of two-to-the-kth
    543  * powers of x.  Thus to compute the 32767 power of x requires
    544  * 28 multiplications instead of 32767 multiplications.
    545  *
    546  *
    547  *
    548  * ACCURACY:
    549  *
    550  *
    551  *                      Relative error:
    552  * arithmetic   x domain   n domain  # trials      peak         rms
    553  *    IEEE     .001,1000  -1022,1023  50000       4.3e-17     7.8e-18
    554  *    IEEE        1,2     -1022,1023  20000       3.9e-17     7.6e-18
    555  *    IEEE     .99,1.01     0,8700    10000       3.6e-16     7.2e-17
    556  *
    557  * Returns MAXNUM on overflow, zero on underflow.
    558  *
    559  */
    560 
    561 static long double
    562 powil(long double x, int nn)
    563 {
    564 long double ww, y;
    565 long double s;
    566 int n, e, sign, asign, lx;
    567 
    568 if( x == 0.0L )
    569 	{
    570 	if( nn == 0 )
    571 		return( 1.0L );
    572 	else if( nn < 0 )
    573 		return( LDBL_MAX );
    574 	else
    575 		return( 0.0L );
    576 	}
    577 
    578 if( nn == 0 )
    579 	return( 1.0L );
    580 
    581 
    582 if( x < 0.0L )
    583 	{
    584 	asign = -1;
    585 	x = -x;
    586 	}
    587 else
    588 	asign = 0;
    589 
    590 
    591 if( nn < 0 )
    592 	{
    593 	sign = -1;
    594 	n = -nn;
    595 	}
    596 else
    597 	{
    598 	sign = 1;
    599 	n = nn;
    600 	}
    601 
    602 /* Overflow detection */
    603 
    604 /* Calculate approximate logarithm of answer */
    605 s = x;
    606 s = frexpl( s, &lx );
    607 e = (lx - 1)*n;
    608 if( (e == 0) || (e > 64) || (e < -64) )
    609 	{
    610 	s = (s - 7.0710678118654752e-1L) / (s +  7.0710678118654752e-1L);
    611 	s = (2.9142135623730950L * s - 0.5L + lx) * nn * LOGE2L;
    612 	}
    613 else
    614 	{
    615 	s = LOGE2L * e;
    616 	}
    617 
    618 if( s > MAXLOGL )
    619 	return (huge * huge);		/* overflow */
    620 
    621 if( s < MINLOGL )
    622 	return (twom10000 * twom10000);	/* underflow */
    623 /* Handle tiny denormal answer, but with less accuracy
    624  * since roundoff error in 1.0/x will be amplified.
    625  * The precise demarcation should be the gradual underflow threshold.
    626  */
    627 if( s < (-MAXLOGL+2.0L) )
    628 	{
    629 	x = 1.0L/x;
    630 	sign = -sign;
    631 	}
    632 
    633 /* First bit of the power */
    634 if( n & 1 )
    635 	y = x;
    636 
    637 else
    638 	{
    639 	y = 1.0L;
    640 	asign = 0;
    641 	}
    642 
    643 ww = x;
    644 n >>= 1;
    645 while( n )
    646 	{
    647 	ww = ww * ww;	/* arg to the 2-to-the-kth power */
    648 	if( n & 1 )	/* if that bit is set, then include in product */
    649 		y *= ww;
    650 	n >>= 1;
    651 	}
    652 
    653 if( asign )
    654 	y = -y; /* odd power of negative number */
    655 if( sign < 0 )
    656 	y = 1.0L/y;
    657 return(y);
    658 }
    659